Ομιλία του Κ. Βασίλειου Γρηγοριάδη, στο Σεμινάριο του Τομέα Μαθηματικών της ΣΕΜΦΕ, την Παρασκευή 30 Νοεμβρίου στις 13:35, στην Αίθουσα Σεμιναρίων του τομέα Μαθηματικών (2ος όροφος, κτίριο Ε).
Τίτλος : “Κυρτά παραγόμενα σύνολα με συνεχή τρόπο”
Περίληψη : “Σύμφωνα με ένα αποτέλεσμα του Preiss, κάθε Borel υποσύνολο του Ευκλείδειου n– διάστατου χώρου που είναι κυρτό, είναι επίσης κυρτά παραγόμενο – δηλαδή το σύνολο προκύπτει από την εφαρμογή των τελεστών της αύξουσας αριθμήσιμης ένωσης και αριθ- μήσιμης τομής ξεκινώντας από την οικογένεια των κυρτών συμπαγών συνόλων. Σε αυτή την ομιλία παρουσιάζουμε ένα καινούργιο αποτέλεσμα που λέει ότι η προηγούμενη με- τάβαση από Borel κυρτό σε κυρτά παραγόμενο σύνολο γίνεται με “συνεχή τρόπο”. Πιο συγκεκριμένα, ένα Borel όπως και ένα κυρτά παραγόμενο σύνολο καθορίζονται από μια ακολουθία φυσικών αριθμών (δηλαδή από ένα στοιχείο του χώρου του Baire) η οποία παρακολουθεί τις ενώσεις/τομές που χρησιμοποιούνται στον ορισμό του εν λόγω συ- νόλου. Το αποτέλεσμά μας είναι ότι υπάρχει μια συνεχής συνάρτηση f στον χώρο του Baire, έτσι ώστε για κάθε x που καθορίζει ένα Borel κυρτό σύνολο B το f (x) καθορίζει το B με την κυρτά παραγόμενη έννοια.Για να καταλήξουμε σε αυτό το αποτέλεσμα δίνουμε μια καινούργια συνδυαστική απόδειξη του θεωρήματος του Preiss στην οποία καθορίζουμε ένα καλά θεμελιωμένο δέ- ντρο που αντανακλά την κυρτότητα και τον διαχωρισμό δύο δοσμένων συνόλων. Η συ- νεχής συνάρτηση προκύπτει μέσα από την αναδρομή στα κλαδιά του δέντρου με χρήση κάποιων βασικών στοιχείων της θεωρίας αναδρομής. Η συγκεκριμένη κατασκευή ανοίγει τον δρόμο σε ενδεχόμενα καινούργια αποτελέσματα αυτού του τύπου και μάλιστα σε απειροδιάστατους χώρους, όπου η ιδιότητα της κυρτότητας αντικαθίσταται με άλλες γεωμετρικές ή τοπολογικές ιδιότητες.”